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103 台灣大學微積分(B) 第 1 題

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103學年度 · 103台大微積分B · 第 1 題

題目

Problem

（壹）填充題

  1. 極限
lim⁡x→01+x4−1−2x43x(1−cos⁡x)tan⁡(sin⁡x)=(1)‾\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^4}-\sqrt[3]{1-2x^4}}{x(1-\cos x)\tan(\sin x)}=\underline{\quad(1)\quad}

。

解答

解法一

思路

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分子與分母都從 x4x^4 的量級開始，分別取首個非零泰勒項即可。

答題過程

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當 x→0x\to0 時，

1+x4=1+x42+o(x4),1−2x43=1−2x43+o(x4).\sqrt{1+x^4}=1+\frac{x^4}{2}+o(x^4), \qquad \sqrt[3]{1-2x^4}=1-\frac{2x^4}{3}+o(x^4).

故分子為 76x4+o(x4)\frac76x^4+o(x^4)。另一方面，

x(1−cos⁡x)tan⁡(sin⁡x)=x(x22+o(x2))(x+o(x))=12x4+o(x4).x(1-\cos x)\tan(\sin x) =x\left(\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)(x+o(x)) =\frac12x^4+o(x^4).

所以極限為 73\boxed{\frac73}。