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102 台灣大學微積分(C) 第 2 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分C

102學年度 · 102台大微積分C · 第 2 題

題目

Problem

(B). Find dydx=(2)‾\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\underline{\quad(2)\quad} and d2ydx2=(3)‾\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\underline{\quad(3)\quad} at the point x=1, y=1x=1,\ y=1 of the curve x3+3x2y+y3=5x^3+3x^2y+y^3=5.

解答

解法一

思路

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  • 對隱函數方程先微分一次求 y′y',再對所得等式微分一次。

答題過程

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一次微分得

3x2+6xy+3x2y′+3y2y′=0.3x^2+6xy+3x^2y'+3y^2y'=0.

在 (1,1)(1,1),3+6+6y′=03+6+6y'=0,故 y′=−3/2y'=-3/2。再微分並代入 (1,1)(1,1) 及 y′=−3/2y'=-3/2:

6x+6y+12xy′+6y(y′)2+(3x2+3y2)y′′=0,6x+6y+12xy'+6y(y')^2+(3x^2+3y^2)y''=0,

故 12−18+272+6y′′=012-18+\frac{27}{2}+6y''=0,所以

(2)=−32,(3)=−54.\boxed{(2)=-\frac32,\qquad(3)=-\frac54}.