題目

Problem

(N). Solve the differential equation $t\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=e^t$ with the initial condition $y(1)=2$ . Answer. $\underline{\quad(15)\quad}$ .

解答

解法一

思路

展開

初始點在 $t=1>0$ ，在 $t>0$ 上除以 $t$ 後用一階線性方程的積分因子 $t^2$ 。

答題過程

展開

方程化為 $y'+\frac2t y=\frac{e^t}{t}$ ，積分因子是 $t^2$ ，故

(t^2y)'=te^t.

因此

t^2y=e^t(t-1)+C.

由 $y(1)=2$ 得 $C=2$ ，所以

\boxed{(15)=y=\frac{e^t(t-1)+2}{t^2}\quad(t>0)}.

102 台灣大學微積分(C) 第 14 題

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解答

解法一

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