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102 台灣大學微積分(B) 第 5 題

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102學年度 · 102台大微積分B · 第 5 題

題目

Problem

一、單選題

  1. The third-degree Taylor polynomial about x=0x=0 of ln⁡(1−x)\ln(1-x) is

(A) −x−x22−x33-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}

(B) 1−x+x221-x+\dfrac{x^2}{2}

(C) x−x22+x33x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}

(D) −1+x−x22-1+x-\dfrac{x^2}{2}

(E) −x+x22−x33-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}。

解答

解法一

思路

展開
  • 使用 ln⁡(1−x)\ln(1-x) 在 x=0x=0 的冪級數。
  • 三次 Taylor 多項式只保留到 x3x^3。

答題過程

展開

在 ∣x∣<1|x|<1，

ln⁡(1−x)=−∑n=1∞xnn=−x−x22−x33−⋯ .\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} =-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots.

因此三次 Taylor 多項式為 −x−x22−x33\boxed{-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}}，選 (A)。