Problem

二、多選題

14. Let $S$ denote the solid enclosed by $x^2+y^2+z^2=2z$ and $z^2=x^2+y^2$.

(A) The length of of the curve determined by $\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=2z \text{ and } z^2=x^2+y^2\}$ is $2\pi$.

(B) The volume of $S$ is less than less than $2\pi/3$.

(C) The volume of $S$ is equal to $\pi$.

(D) 當使用球面坐標係 $(r,\theta,\phi)$，即 $x=r\sin\theta\cos\phi,\ y=r\sin\theta\sin\phi,\ z=r\cos\theta$ 時，$S$ 的體積等於

$$\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\cos\phi}\rho^2\sin(\phi)\,\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$$

。

(E) $S$ 的表面積大於 $4\pi$。

題目勘誤

官方原題：選項 (D) 把球座標定義寫為 $x=r\sin\theta\cos\phi,\ y=r\sin\theta\sin\phi,\ z=r\cos\theta$，但後面的積分卻採用 $\theta\in[0,2\pi]$、$\phi\in[0,\pi/4]$ 與 Jacobian $\rho^2\sin\phi$。

實際上應為：後面的積分對應標準慣例 $x=\rho\sin\phi\cos\theta,\ y=\rho\sin\phi\sin\theta,\ z=\rho\cos\phi$；和選項內印出的座標定義不一致。照字面不能把 (D) 視為正確，無法唯一判定原作者意圖。

本頁保留官方原題，未替換原題條件。