題目 Problem (6) 極座標曲線 r=e−θr=e^{-\theta}r=e−θ，θ≥0\theta\ge 0θ≥0 的全長為 (6)‾\underline{\quad(6)\quad}(6)。 解答 解法一 思路 展開 極座標曲線的弧長要同時計入 rrr 與 θ\thetaθ 的變化。 本題 rrr 與 r′r'r′ 的絕對值相同，弧長積分化為簡單的瑕積分。 答題過程 展開 極座標弧長元素為 r2+(dr/dθ)2 dθ\sqrt{r^2+(\mathrm{d}r/\mathrm{d}\theta)^2}\,\mathrm{d}\thetar2+(dr/dθ)2dθ。因 r=e−θr=e^{-\theta}r=e−θ、r′=−e−θr'=-e^{-\theta}r′=−e−θ， L= ∫0∞e−2θ+e−2θ dθ= 2∫0∞e−θ dθ=2.\begin{align*} L=&\,\int_0^\infty\sqrt{e^{-2\theta}+e^{-2\theta}}\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\sqrt2\int_0^\infty e^{-\theta}\,\mathrm{d}\theta =\boxed{\sqrt2}. \end{align*}L==∫0∞e−2θ+e−2θdθ2∫0∞e−θdθ=2.
