題目
Problem
(壹)填充題:請標明題號及格號,並依序作答。共 6 題,每題 10 分,計 60 分。(一題兩格者,每格 5 分)
(1) 令函數 y=cosx 之圖形與三直線 x=−a、x=0、x=a(0<a<π)的交點分別為 A,B,C,P 為三角形 ABC 之外心(外接圓圓心),Q 為三角形 ABC 之內心(內切圓圓心)。當 a→0+ 時,點 P 的極限位置座標為 (1a);Q 的極限位置座標為 (1b)。
解答
解法一
思路
展開
- 圖形與三條直線形成的三角形關於 y 軸對稱,所以外心與內心都在 y 軸上。
- 分別利用「到三個頂點等距」與「內心座標按對邊長加權」,再取 a→0+ 的極限。
答題過程
展開
三角形關於 y 軸對稱,兩個圓心皆在 y 軸。設外心為 (0,p),由 PA=PB 得
p=2(1−cosa)sin2a−a2⟶0.
內心的 y 座標以對邊長加權;令 s=a2+(1−cosa)2,則
yQ=a+sa+scosa⟶1.
因此 (1a)=(0,0),(1b)=(0,1)。