題目 5. 若對所有的實數 xxx，F′(x)F'(x)F′(x) 皆為連續函數，則 limh→01h∫33+h2F′(x) dx\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_3^{3+h^2}F'(x)\,dxh→0limh1∫33+h2F′(x)dx 等於下列哪一個選項？ (A) 0 (B) F(0)F(0)F(0) (C) F(3)F(3)F(3) (D) F′(0)F'(0)F′(0) (E) F′(3)F'(3)F′(3)。 解答 解法一 思路 展開 以微積分基本定理把積分改為 FFF 的差；上限的變化量是 h2h^2h2。 答題過程 展開 F(3+h2)−F(3)h=h⋅F(3+h2)−F(3)h2⟶0.\frac{F(3+h^2)-F(3)}h =h\cdot\frac{F(3+h^2)-F(3)}{h^2}\longrightarrow0.hF(3+h2)−F(3)=h⋅h2F(3+h2)−F(3)⟶0. 答案為 (A)\boxed{\text{(A)}}(A)。
