題目

13.

(15\text{分})

I(r)=\iint_{\Omega_r}\exp\left[-(x^2+2xy+3y^2)\right]\,dA

where $\Omega_r=\{(x,y)\mid x^2+2xy+3y^2\le r^2\}$ 。

(a) Evaluate $I(1)$ . $(10\text{分})$

(b) Find $\lim_{r\to\infty}I(r)$ . $(5\text{分})$

解答

展開

展開

令 $u=x+y$ 、 $v=\sqrt2y$ ，則 $x^2+2xy+3y^2=u^2+v^2$ ，且

\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac1{\sqrt2}.

再用極座標，

\begin{align*} I(r) =&\,\frac1{\sqrt2}\int_0^{2\pi}\int_0^r e^{-\rho^2}\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\frac\pi{\sqrt2}(1-e^{-r^2}). \end{align*}

所以

\boxed{I(1)=\frac\pi{\sqrt2}(1-e^{-1})},\qquad \boxed{\lim_{r\to\infty}I(r)=\frac\pi{\sqrt2}}.