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100 台灣大學微積分(C) 第 11 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分C

100學年度 · 100台大微積分C · 第 11 題

題目

11. Let AA be the region bounded above by the graph of y=sin⁡(πx)y=\sin(\pi x) and below by the graph of y=x3−4xy=x^3-4x.

(A) (2.1,0.8)(2.1,0.8) falls into the region AA.

(B) The area of AA can be represented by ∫02[sin⁡(πx)−(x3−4x)] dx\displaystyle \int_0^2[\sin(\pi x)-(x^3-4x)]\,dx.

(C) The area of AA is equal to 4.

(D) The region AA is the base of a solid. For this solid, each cross section perpendicular to the xx-axis is a square. The volume of this solid is equal to ∫02[sin⁡(πx)−(x3−4x)]2 dx\displaystyle \int_0^2[\sin(\pi x)-(x^3-4x)]^2\,dx.

(E) The region AA models the surface of a small pond. At all points in AA at a distance xx from the yy-axis, the depth of the water is given by h(x)=3−xh(x)=3-x. The volume of water in the pond is equal to ∫02(3−x)[sin⁡(πx)−(x3−4x)] dx\displaystyle \int_0^2(3-x)[\sin(\pi x)-(x^3-4x)]\,dx.

解答

解法一

思路

展開
  • 兩圖在 x=0,2x=0,2 相交,且中間正是上減下;逐項依區域、面積、截面體積與密度體積判斷。

答題過程

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在 0≤x≤20\le x\le2,上方曲線是 sin⁡(πx)\sin(\pi x)。故 (B) 的面積式正確,且

∫02[sin⁡(πx)−x3+4x],dx=4,\int_0^2[\sin(\pi x)-x^3+4x],\mathrm{d}x=4,

所以 (C) 正確。平方截面體積為高度平方的積分,(D) 正確;以 3−x3-x 作深度的水量積分亦正確。點 (2.1,0.8)(2.1,0.8) 不在區域內。答案為 (B)、(C)、(D)、(E)\boxed{\text{(B)、(C)、(D)、(E)}}。