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100 台灣大學微積分(B) 第 9 題

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100學年度 · 100台大微積分B · 第 9 題

題目

9. 設 DD 為心臟線 r=2(1−cos⁡θ)r=2(1-\cos\theta) 所圍成的區域，且在 DD 上的點 (x,y)(x,y)，其密度函數為 ρ(x,y)=12x2+y2\rho(x,y)=12\sqrt{x^2+y^2}。試求其總質量（total mass）及質量中心（center of mass）。(15%)(15\%)

解答

解法一

思路

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  • 密度只依賴到原點的距離，心臟線也以極座標給出，因此直接在極座標計算質量與一階矩。
  • 區域關於 xx 軸對稱，故 yˉ=0\bar y=0。

答題過程

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令 R(θ)=2(1−cos⁡θ)R(\theta)=2(1-\cos\theta)。總質量為

M= ∫02π∫0R(θ)12r⋅r dr dθ= 4∫02πR(θ)3 dθ=160π.\begin{align*} M =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^{R(\theta)}12r\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,4\int_0^{2\pi}R(\theta)^3\,\mathrm{d}\theta =\boxed{160\pi}. \end{align*}

對 yy 軸的一階矩為

My= ∫02π∫0R(θ)(rcos⁡θ) 12r⋅r dr dθ= 3∫02πcos⁡θ R(θ)4 dθ=−336π.\begin{align*} M_y =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^{R(\theta)}(r\cos\theta)\,12r\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,3\int_0^{2\pi}\cos\theta\,R(\theta)^4\,\mathrm{d}\theta =-336\pi. \end{align*}

故

(xˉ,yˉ)=(MyM,0)=(−2110,0).\boxed{(\bar x,\bar y)=\left(\frac{M_y}{M},0\right)=\left(-\frac{21}{10},0\right)}.