題目 7. 試求積分 ∫06[∫06x−x26x2+y2 dy]dx=(7)‾.\int_0^6\left[\int_0^{\sqrt{6x-x^2}} 6\sqrt{x^2+y^2}\,dy\right]dx=\underline{\quad(7)\quad}.∫06[∫06x−x26x2+y2dy]dx=(7). 解答 解法一 思路 展開 區域邊界 y2=6x−x2y^2=6x-x^2y2=6x−x2 是以 (3,0)(3,0)(3,0) 為圓心、半徑 333 的上半圓；改用以原點為極點的極座標，積分函數也會化簡。 答題過程 展開 邊界寫成 x2+y2=6xx^2+y^2=6xx2+y2=6x，即 r=6cosθr=6\cos\thetar=6cosθ。第一象限的區域為 0≤θ≤π2,0≤r≤6cosθ.0\le\theta\le\frac\pi2,\qquad0\le r\le6\cos\theta.0≤θ≤2π,0≤r≤6cosθ. 因此 ∬R6x2+y2 dA= 6∫0π/2∫06cosθr2 dr dθ= 432∫0π/2cos3θ dθ=288.\begin{align*} \iint_R6\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm{d}A =&\,6\int_0^{\pi/2}\int_0^{6\cos\theta}r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,432\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\mathrm{d}\theta =\boxed{288}. \end{align*}∬R6x2+y2dA==6∫0π/2∫06cosθr2drdθ432∫0π/2cos3θdθ=288.
