題目 4. 過曲面 zsinx+zcosy+3z2+5z=7z\sin x+z\cos y+3z^2+5z=7zsinx+zcosy+3z2+5z=7 上點 (0,π,1)(0,\pi,1)(0,π,1) 之切平面為 (4)‾\underline{\quad(4)\quad}(4)。 解答 解法一 思路 展開 把曲面寫成等位面 F=0F=0F=0；梯度在給定點的值就是切平面法向量。 答題過程 展開 令 F=zsinx+zcosy+3z2+5z−7F=z\sin x+z\cos y+3z^2+5z-7F=zsinx+zcosy+3z2+5z−7。在 (0,π,1)(0,\pi,1)(0,π,1)， ∇F=(zcosx,−zsiny,sinx+cosy+6z+5)=(1,0,10).\nabla F=(z\cos x,-z\sin y,\sin x+\cos y+6z+5)=(1,0,10).∇F=(zcosx,−zsiny,sinx+cosy+6z+5)=(1,0,10). 因此切平面為 x+10(z−1)=0.\boxed{x+10(z-1)=0}.x+10(z−1)=0.
