題目

Problem

二、計算題：必須有計算過程，才予以計分。

解答

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設旋轉軸那一邊長為 $c$ ，對應高為 $h$ 。旋轉後兩個圓錐的體積相加，得到

V=\frac13\pi ch^2.

固定 $c$ 時，另兩邊和是 $24-c$ ；三角形面積在另兩邊相等時最大。故令另兩邊皆為 $(24-c)/2$ ，其高滿足

\begin{align*} h^2 =&\,\left(\frac{24-c}{2}\right)^2-\left(\frac c2\right)^2\\[4mm] =&\,144-12c. \end{align*}

於是

V=\frac\pi3c(144-12c)=4\pi c(12-c).

在 $0<c<12$ 中， $c(12-c)$ 於 $c=6$ 最大。因此

\boxed{V_{\max}=144\pi}.

此時另兩邊皆為 $9$ ，三邊長為 $\boxed{6,9,9}$ ，並繞長為 $6$ 的邊旋轉。