題目

Problem

VI. Evaluate the following:

(a)

\iint_R e^{x^2+y^2}\,dx\,dy.

Here $R=\{(x,y):x^2+y^2\le 1,\ y\ge 0\}$ . $(10\%)$

(b)

\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx.

$(5\%)$

解答

展開

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(a) 在極坐標下， $0\le r\le1,0\le\theta\le\pi$ ，故

\int_0^\pi\int_0^1e^{r^2}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\boxed{\frac\pi2(e-1)}.

(b) 設 $I=\int_0^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ 。平方後利用第一象限極坐標：

I^2=\int_0^{\pi/2}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=\frac\pi4.

因 $I>0$ ，所以 $\boxed{I=\frac{\sqrt\pi}{2}}$ 。