題目 Problem V. (10%)(10\%)(10%) Find the normal line for the surface z=x2−xy−y2z=x^2-xy-y^2z=x2−xy−y2 at the point (1,1,−1)(1,1,-1)(1,1,−1). 解答 解法一 思路 展開 將曲面寫成隱函數 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0，梯度就是法線方向。 答題過程 展開 令 F=x2−xy−y2−zF=x^2-xy-y^2-zF=x2−xy−y2−z。則 ∇F=(2x−y,−x−2y,−1).\nabla F=(2x-y,-x-2y,-1).∇F=(2x−y,−x−2y,−1). 在 (1,1,−1)(1,1,-1)(1,1,−1)，法向量為 (1,−3,−1)(1,-3,-1)(1,−3,−1)。因此法線為 (x,y,z)=(1,1,−1)+t(1,−3,−1),t∈R.\boxed{(x,y,z)=(1,1,-1)+t(1,-3,-1),\quad t\in\mathbb R.}(x,y,z)=(1,1,−1)+t(1,−3,−1),t∈R.
