題目

Problem

II. Suppose that $f$ is a continuous function satisfying

f(x)=2+\int_0^x \frac{f(t)}{(t+2)(t+3)}\,dt,\quad x\ge 0.

Find

(a) $f(0)$ . $(5\%)$

(b) $f(3)$ . $(10\%)$

解答

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代入 $x=0$ 得 $f(0)=2$ 。對原式微分：

f'(x)=\frac{f(x)}{(x+2)(x+3)}.

分離變數並使用初始條件：

\begin{align*} \ln\frac{f(x)}2 =&\,\int_0^x\left(\frac1{t+2}-\frac1{t+3}\right)\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\ln\frac{3(x+2)}{2(x+3)}. \end{align*}

故 $f(x)=3(x+2)/(x+3)$ ，所以

\boxed{f(0)=2,\qquad f(3)=\frac52}.