題目 Problem (11) 求線積分 ∫Cyz2 dx+(xz2+zeyz) dy+(2xyz+yeyz+11+z) dz，\int_C yz^2\,dx+(xz^2+ze^{yz})\,dy+\left(2xyz+ye^{yz}+\frac{1}{1+z}\right)\,dz，∫Cyz2dx+(xz2+zeyz)dy+(2xyz+yeyz+1+z1)dz， 其中曲線 CCC 是 r(t)=ti+t2j+t3k, 0≤t≤1。\mathbf{r}(t)=t\mathbf{i}+t^2\mathbf{j}+t^3\mathbf{k},\ 0\le t\le 1。r(t)=ti+t2j+t3k, 0≤t≤1。 解答 解法一 答題過程 展開 被積分向量場為保守場，其位勢函數可取 Φ=xyz2+eyz+ln(1+z).\Phi=xyz^2+e^{yz}+\ln(1+z).Φ=xyz2+eyz+ln(1+z). 故線積分為 Φ(1,1,1)−Φ(0,0,0)=e+ln2\Phi(1,1,1)-\Phi(0,0,0)=\boxed{e+\ln2}Φ(1,1,1)−Φ(0,0,0)=e+ln2。
