題目 3. (7%)(8%)(7\%)(8\%)(7%)(8%) Evaluate the following definite and indefinite integrals. (3a) ∫02log2(x+2)x+2 dx\displaystyle \int_0^2 \frac{\log_2(x+2)}{x+2}\,dx∫02x+2log2(x+2)dx. (3b) ∫esin−1(x)1−x2 dx\displaystyle \int \frac{e^{\sin^{-1}(x)}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx∫1−x2esin−1(x)dx. 解答 解法一 答題過程 展開 (3a) 令 u=log2(x+2)u=\log_2(x+2)u=log2(x+2)，則 du=dx/((x+2)ln2)\mathrm{d}u=\mathrm{d}x/((x+2)\ln2)du=dx/((x+2)ln2)，得 3ln2/2\boxed{3\ln2/2}3ln2/2。 (3b) 令 u=sin−1xu=\sin^{-1}xu=sin−1x，則 du=dx/1−x2\mathrm{d}u=\mathrm{d}x/\sqrt{1-x^2}du=dx/1−x2，故積分為 esin−1x+C\boxed{e^{\sin^{-1}x}+C}esin−1x+C。
