97 台灣大學微積分(C) 第 1 題

題目

Problem

(1a) $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)$ with $f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)I(x>0)$ .

(1b) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}x\tan\left(\frac{1}{x}\right)$ .

展開

(1a) 右側 $sin(1/x)$ 振盪，左側恆為 $0$ ，故雙側極限 $\boxed{\text{不存在}}$ 。(1b) 令 $u=1/x$ ，則 $x\tan(1/x)=\tan u/u\to\boxed1$ 。