題目 Problem 計算題（共兩題，各 14 分，詳列演算，否則不予計分） （I）設 RRR 為 xyxyxy-平面上，由四直線 2x+3y=02x+3y=02x+3y=0，3x+y=03x+y=03x+y=0，x−2y=1x-2y=1x−2y=1，x−2y=2x-2y=2x−2y=2 所圍成之區域。求 ∬Rsin(3x+yx−2y) dx dy。\iint_R \sin\left(\frac{3x+y}{x-2y}\right)\,dx\,dy。∬Rsin(x−2y3x+y)dxdy。 解答 令 u=3x+y,v=x−2yu=3x+y,v=x-2yu=3x+y,v=x−2y，則 ∣∂(x,y)/∂(u,v)∣=1/7|\partial(x,y)/\partial(u,v)|=1/7∣∂(x,y)/∂(u,v)∣=1/7，區域為 1≤v≤2,0≤u≤v1\le v\le2,0\le u\le v1≤v≤2,0≤u≤v。故積分為 314(1−cos1)\boxed{\frac3{14}(1-\cos1)}143(1−cos1)。
