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96 台灣大學微積分(C) 第 6 題

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96學年度 · 96台大微積分C · 第 6 題

題目

6. 設 yex+2z2=1ye^x+2z^2=1，且 zz 為 x,yx,y 的函數，則在點 (0,−1,1)(0,-1,1) 的

∂2z∂x2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}

為 ‾\underline{\quad\quad}。

解答

解法一

思路

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  • 將等式視為 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0，而 yy 固定時，先對 xx 做隱函數微分求 zxz_x。
  • 對一階關係式再微分一次，最後代入給定點。

答題過程

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固定 yy 對

yex+2z2=1ye^x+2z^2=1

做 xx 微分：

yex+4zzx=0.ye^x+4z z_x=0.

在 (x,y,z)=(0,−1,1)(x,y,z)=(0,-1,1)，這給出

−1+4zx=0,zx=14.-1+4z_x=0, \qquad z_x=\frac14.

再對 yex+4zzx=0ye^x+4zz_x=0 微分：

yex+4zx2+4zzxx=0.ye^x+4z_x^2+4z z_{xx}=0.

代入該點及 zx=14z_x=\frac14：

−1+4(14)2+4zxx=0.-1+4\left(\frac14\right)^2+4z_{xx}=0.

故

zxx=316.\boxed{z_{xx}=\frac3{16}}.