題目 3. ∫0π∣cosx+12∣ dx=‾。\int_0^{\pi} \left|\cos x+\frac{1}{2}\right|\,dx=\underline{\quad\quad}。∫0πcosx+21dx=。 解答 解法一 思路 展開 絕對值內的式子在 cosx=−12\cos x=-\frac12cosx=−21 時變號。 在 [0,π][0,\pi][0,π] 內只有 x=2π3x=\frac{2\pi}{3}x=32π 一個分界點，因此在此分段積分。 答題過程 展開 當 0≤x≤2π30\le x\le\frac{2\pi}{3}0≤x≤32π 時，cosx+12≥0\cos x+\frac12\ge0cosx+21≥0；之後則為負。因此 ∫0π∣cosx+12∣ dx= ∫02π/3(cosx+12) dx−∫2π/3π(cosx+12) dx= (32+π3)−(−32+π6)= 3+π6.\begin{align*} \int_0^\pi\left|\cos x+\frac12\right|\,\mathrm{d}x =&\,\int_0^{2\pi/3}\left(\cos x+\frac12\right)\,\mathrm{d}x -\int_{2\pi/3}^{\pi}\left(\cos x+\frac12\right)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{3}\right) -\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\\[4mm] =&\,\boxed{\sqrt3+\frac{\pi}{6}}. \end{align*}∫0πcosx+21dx===∫02π/3(cosx+21)dx−∫2π/3π(cosx+21)dx(23+3π)−(−23+6π)3+6π.
