題目 9. ∫0ln22ex−4ex−4 dx=‾。\int_0^{\ln 2}\frac{2e^x-4}{e^x-4}\,dx=\underline{\quad\quad}。∫0ln2ex−42ex−4dx=。 解答 解法一 思路 展開 令 u=exu=e^xu=ex，積分上下限改為 111 到 222，再作部分分式分解。 答題過程 展開 令 u=exu=e^xu=ex，則 2ex−4ex−4 dx=2u−4u(u−4) du=(1u+1u−4) du.\frac{2e^x-4}{e^x-4}\,\mathrm{d}x =\frac{2u-4}{u(u-4)}\,\mathrm{d}u =\left(\frac1u+\frac1{u-4}\right)\,\mathrm{d}u.ex−42ex−4dx=u(u−4)2u−4du=(u1+u−41)du. 因此 ∫12(1u+1u−4) du=[lnu+ln∣u−4∣]12=ln43.\int_1^2\left(\frac1u+\frac1{u-4}\right)\,\mathrm{d}u =\left[\ln u+\ln|u-4|\right]_1^2 =\boxed{\ln\frac43}.∫12(u1+u−41)du=[lnu+ln∣u−4∣]12=ln34.
