題目 2. 設 h(x)=∫x2xt2−2(t2+1)2 dt，h(x)=\int_x^{2x}\frac{t^2-2}{(t^2+1)^2}\,dt，h(x)=∫x2x(t2+1)2t2−2dt， 則導數 h′(1)=‾h'(1)=\underline{\quad\quad}h′(1)=。 解答 解法一 思路 展開 積分的上下限都含 xxx，用變上、下限積分的鏈鎖規則。 答題過程 展開 令 g(t)=t2−2(t2+1)2g(t)=\dfrac{t^2-2}{(t^2+1)^2}g(t)=(t2+1)2t2−2。由微積分基本定理， h′(x)=2g(2x)−g(x).h'(x)=2g(2x)-g(x).h′(x)=2g(2x)−g(x). 所以 h′(1)=2⋅4−2(4+1)2−1−2(1+1)2=425+14=41100.h'(1)=2\cdot\frac{4-2}{(4+1)^2}-\frac{1-2}{(1+1)^2} =\frac4{25}+\frac14 =\boxed{\frac{41}{100}}.h′(1)=2⋅(4+1)24−2−(1+1)21−2=254+41=10041.
