題目 8. 在曲面 x2y+y2z+z2x=5x^2y+y^2z+z^2x=5x2y+y2z+z2x=5 上，求通過 P=(1,−1,2)P=(1,-1,2)P=(1,−1,2) 點的切平面方程式。 解答 解法一 思路 展開 把曲面寫成 F(x,y,z)=5F(x,y,z)=5F(x,y,z)=5，切平面的法向量就是給定點的梯度。 答題過程 展開 令 F=x2y+y2z+z2xF=x^2y+y^2z+z^2xF=x2y+y2z+z2x，則 ∇F=(2xy+z2, x2+2yz, y2+2zx).\nabla F=(2xy+z^2,\ x^2+2yz,\ y^2+2zx).∇F=(2xy+z2, x2+2yz, y2+2zx). 在 P=(1,−1,2)P=(1,-1,2)P=(1,−1,2)，∇F(P)=(2,−3,5)\nabla F(P)=(2,-3,5)∇F(P)=(2,−3,5)。故切平面為 2(x−1)−3(y+1)+5(z−2)=0,2(x-1)-3(y+1)+5(z-2)=0,2(x−1)−3(y+1)+5(z−2)=0, 即 2x−3y+5z=15.\boxed{2x-3y+5z=15}. 2x−3y+5z=15.
