題目 6. 求不定積分 ∫e2x(ex+1)2 dx。\int \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2}\,dx。∫(ex+1)2e2xdx。 解答 解法一 思路 展開 令 u=exu=e^xu=ex，分子與微分都可改寫成 uuu 的有理函數。 答題過程 展開 令 u=exu=e^xu=ex，則 ∫e2x(ex+1)2 dx=∫u(u+1)2 du=∫(1u+1−1(u+1)2) du.\int\frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2}\,\mathrm{d}x =\int\frac{u}{(u+1)^2}\,\mathrm{d}u =\int\left(\frac1{u+1}-\frac1{(u+1)^2}\right)\,\mathrm{d}u.∫(ex+1)2e2xdx=∫(u+1)2udu=∫(u+11−(u+1)21)du. 所以 ln(ex+1)+1ex+1+C.\boxed{\ln(e^x+1)+\frac1{e^x+1}+C}. ln(ex+1)+ex+11+C.
