題目 5. 判別無窮級數 ∑n=1∞n!nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}n=1∑∞nnn! 收斂或發散。 解答 解法一 思路 展開 用比值審斂法檢查相鄰兩項的比值極限。 答題過程 展開 令 an=n!nna_n=\dfrac{n!}{n^n}an=nnn!，則 an+1an=(nn+1)n⟶e−1<1.\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\longrightarrow e^{-1}<1.anan+1=(n+1n)n⟶e−1<1. 依比值審斂法， 此級數收斂.\boxed{\text{此級數收斂}}.此級數收斂.
