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95 台灣大學微積分(B) 第 8 題

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95學年度 · 95台大微積分B · 第 8 題

題目

Problem

二、計算題 每題 15 分。

  1. CC 為平面 x−2y+2z=9x-2y+2z=9 和球面 x2+y2+z2=25x^2+y^2+z^2=25 相交成的圓。

(a) 求圓 CC 的圓心和平方 x−2y+2z=9x-2y+2z=9 過圓心的法線參數式。

(b) F⃗=−2z2i⃗+x2j⃗−4y2k⃗\vec F=-2z^2\vec i+x^2\vec j-4y^2\vec k。CC 沿原點望去依順時針旋轉，求線積分 ∮CF⃗⋅dr⃗\oint_C \vec F\cdot d\vec r 之值。

解答

解法一

思路

展開
  • 圓心是原點到平面的垂足；線積分用 Stokes 定理轉成平面圓盤上的旋度通量。

答題過程

展開

(a) 平面法向量為 n=(1,−2,2)\mathbf n=(1,-2,2)，∣n∣=3|\mathbf n|=3。圓心為

(1,−2,2),\boxed{(1,-2,2)},

其過圓心法線可寫成

(x,y,z)=(1,−2,2)+t(1,−2,2).\boxed{(x,y,z)=(1,-2,2)+t(1,-2,2)}.

圓半徑為 25−32=4\sqrt{25-3^2}=4。

(b)

∇×F=(−8y,−4z,2x).\nabla\times\mathbf F=(-8y,-4z,2x).

由原點觀看的順時針方向對應法向量 n\mathbf n。圓盤上線性函數的平均值等於圓心處的值，故

∮CF⋅dr=(−8y,−4z,2x)⋅(1,−2,2)∣(1,−2,2)3⋅16π=192π.\oint_C\mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r =\frac{(-8y,-4z,2x)\cdot(1,-2,2)\big|_{(1,-2,2)}}3\cdot16\pi =\boxed{192\pi}.