題目

9. 求線積分

\oint_\Gamma (\sin x+y^2)\,dx+\left(x+\sqrt{1+e^y}\right)\,dy,

其中 $\Gamma$ 為由 $y=0$ 、 $x=1$ 、 $y=x^2$ 所組成的逆時針方向之封閉路徑。

解答

展開

展開

寫 $P=\sin x+y^2$ 、 $Q=x+\sqrt{1+e^y}$ 。兩者在區域附近有連續偏導數，由格林定理，

\oint_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =\iint_D(1-2y)\,\mathrm{d}A.

其中 $0\le x\le1$ 、 $0\le y\le x^2$ ，所以

\begin{align*} \int_0^1\int_0^{x^2}(1-2y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =&\,\int_0^1\bigl(x^2-x^4\bigr)\,\mathrm{d}x =\boxed{\frac2{15}}. \end{align*}