週期函數的導數與反導數

題目

網上有位同學發問了如下問題：

這位同學想問，第一個是對的，但為什麼第二個不對。

首先，這個問題很明顯超出高中範圍，高中只討論多項式函數的微積分，有些老師喜歡從大學教材取材，但這樣給同學更多負擔之餘，對考試卻沒什麼幫助。若是少數同學單純喜歡學習數學、擴展新知，那當然無所謂，但對於大部分高三考生來說，現在距離考試不到兩個月了，應該把精力集中在符合大考趨勢的方向。

設 $f(x)=\sin x + x$ ，則 $f'(x)=\cos x + 1$ 。
雖然 $f'$ 是週期函數，但 $f$ 並不是。

上述這個例子不夠好，使用了超綱的三角函數求導。更簡單的例子是：

設 $f(x)=x$ ，則 $f'(x)=1$ 。
雖然 $f'$ 是週期函數，但 $f$ 並不是。

\begin{align} \text{若}\quad & f(x+T)&=f(x)\quad \forall x \\[2mm] \text{則}\quad & f'(x+T)& \\[2mm] \colorbox{aqua}{定義}\quad &= \lim_{h\to0}\frac{f(x+T+h)-f(x+T)}{h} \\[2mm] \text{週期}\quad &= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[2mm] &= f'(x) \end{align}

可以看到，由於導函數 $f'(x)$ 是利用 $f(x)$ 的差商再取極限來定義的，過程中自然把週期性給傳遞了過來。

\begin{aligned} \text{若}\quad & f'(x+T)=f'(x)\quad \forall x \\ \text{則}\quad & f(x+T) \\ &= \int_a^{x+T} f'(t)\,\mathrm{d}t \\ &= \int_a^x f'(t)\,\mathrm{d}t + \int_x^{x+T} f'(t)\,\mathrm{d}t \\ &= f(x) + \int_x^{x+T} f'(t)\,\mathrm{d}t \end{aligned}

可以看到， $f(x+T)$ 與 $f(x)$ 之間其實相差了 $\int_x^{x+T} f'(t)\,\mathrm{d}t$ ，其意義為曲線 $y=f'(t)$ 在區間 $[x, x+T]$ 下的面積。

如果這段面積沒有正負相消為 $0$ ，那麼 $f(x)$ 就不會是週期函數。

前面所舉的反例，就可以由這個思路想出來。

不過，舉反例時還有更直觀的方式：

若 $f'(x)$ 是恆非負的週期函數，
則 $f(x)$ 必為單調遞增函數。

而單調遞增函數不可能是週期函數。