一道與絕對值有關的積分習題

題目

已知 $0<a<6$ ，若 $\displaystyle\int_{0}^{6}\bigl\vert2x-2a\bigr\vert\mathop{}\mathrm{d}x=20$ ，求 $a$ 。

首先做個化簡：

\begin{align} &\,\int_{0}^{6}\bigl\vert2x-2a\bigr\vert\mathop{}\mathrm{d}x\\[4mm]=&\,\int_{0}^{6}2\bigl\vert x-a\bigr\vert\mathop{}\mathrm{d}x\\[4mm]=&\,2\int_{0}^{6}\bigl\vert x-a\bigr\vert\mathop{}\mathrm{d}x=20\\[4mm]\Rightarrow \;&\,\int_{0}^{6}\bigl\vert x-a\bigr\vert\mathop{}\mathrm{d}x=10 \end{align}

因為左右兩段斜率分別為 $\pm1$ ，
很容易得知兩三角形的高分別也是 $a$ 與 $6-a$ 。
於是，由三角形面積：

\begin{align*} \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}(6-a)^2=10\\[4mm] \frac{1}{2}\big(a^2+36-12a+a^2\big)=10\\[4mm] a^2-6a+18=10\\[4mm] a^2-6a+8=0\\[4mm] a=2\;\text{or}\;4 \end{align*}

我們要具備一個認知：
絕對值函數 $\big\vert{x\big\vert}$ 其實是個分段定義函數：

\begin{align*} \big\vert x\big\vert= \begin{cases}x&\,x\ge0\\[4mm]-x&\,x<0\end{cases} \end{align*}

以及

\begin{align*} \big\vert x-a\big\vert =\begin{cases}x-a&\,x\ge a\\[4mm]-x+a&\,x<a\end{cases} \end{align*}

那麼，這個積分的下一步就是拆解為：

\begin{align*} \int_{0}^{a}x-a\,\mathrm{d}dx +\int_{a}^{6}a-x\,\mathrm{d}x=10 \end{align*}

兩個積分分別做出來

\begin{align*} &\,\bigg\[\frac{x^2}{2}-ax\bigg\]_0^a +\bigg\[ax-\frac{x^2}{2}\bigg\]_a^6\\[4mm] \=&\,\bigg\[\big(\frac{a^2}{2}-a^2\big)-\big(0-0\big)\bigg\] \\[4mm] &\quad+\bigg\[\big( 6a-18\big)-\big(a^2-\frac{a^2}{2}\big)\bigg\]\\[4mm] \=&\,a^2+6a-18=10 \end{align*}

後續便和解 1 的結尾相同。