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重要極限 sin(x)/x 的幾個延伸極限題

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前言

lim⁡x→0sin⁡xx\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} 是個重要的極限，

因為考題中有許多極限題都是圍繞著此極限，

需要你作些變形然後引用 lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=1 。

雖然在《白話微積分》一書中有盡量多點例題來讓讀者能慢慢跟上，

包含了此重要極限也確實放了好幾道例題，

但作為一本實體書，還是沒辦用太大篇幅來裝下非常多題目。
（就算我下決心要這樣搞，出版社也很難同意。

即使真如此出版的話，也會嚇走不少人）

所以，那就由本文來進行補充吧！

複習書中習題

首先簡單整理一下書中介紹過的極限題：

(1) lim⁡x→0sin⁡(3x)x= lim⁡x→0sin⁡(3x)3x⋅3=1⋅3=3(2) lim⁡x→02xsin⁡(5x)= lim⁡x→05xsin⁡(5x)⋅25=25(3) lim⁡x→01−cos⁡xx2= lim⁡x→02sin⁡2(x2)(x2)2⋅22=12⋅222=12(4) lim⁡x→01−cos⁡xx= lim⁡x→01−cos⁡xx2⋅x=12⋅0=0(5) lim⁡x→∞xsin⁡(1x)= lim⁡x→∞sin⁡(1x)1x=lim⁡y→0+sin⁡(y)y=1(6) lim⁡x→∞3x2−25x+4sin⁡(2x)= lim⁡x→∞(3x2−2)⋅2(5x+4)⋅x⋅sin⁡(2x)2x= 65⋅1=65\begin{align*} (1)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{\sin(3x)}{x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{\sin(\colorbox{aqua}{$3x$})} {\colorbox{aqua}{$3x$}} \cdot3=1\cdot3=3\\[4mm] (2)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{2x}{\sin(5x)}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{\colorbox{Lavender}{$5x$}} {\sin(\colorbox{Lavender}{$5x$})} \cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{5}\\[4mm] (3)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x^2}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{2\sin^2(\frac{x}{2})} {(\frac{x}{2})^2\cdot2^2} =1^2\cdot\frac{2}{2^2} =\frac{1}{2}\\[4mm] (4)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot x =\frac{1}{2}\cdot0=0\\[4mm] (5)\quad&\,\lim_{x\to\infty} x\sin\big( \frac{1}{x}\big)\\[4mm] =&\,\lim_{x\to\infty} \frac{\sin\big( \frac{1}{x}\big)} {\frac{1}{x}} =\lim_{y\to0^+} \frac{\sin(y)}{y}=1\\[4mm] (6)\quad&\,\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2-2} {5x+4} \sin\big(\frac{2}{x} \big)\\[4mm] =&\,\lim_{x\to\infty} \frac{(3x^2-2)\cdot2} {(5x+4)\cdot x} \cdot\frac{ \sin\big(\frac{2}{x}\big)} {\frac{2}{x}}\\[4mm] =&\,\frac{6}{5}\cdot1 =\frac{6}{5} \end{align*}

延伸題

延伸題 1

lim⁡x→∞xsin⁡(3x2)\lim_{x\to\infty} x\sin\big(\frac{3}{x^2}\big)

解

首先注意到 sin⁡(3x2)\sin\big(\frac{3}{x^2}\big)，

現在的極限是考慮 x→∞x\to\infty ，所以 3x2→0\frac{3}{x^2}\to0 。
這就和當 x→0x\to0 時的 sin⁡x\sin x 挺像。
因此我們要給它的“對面”，也就是分母，
配個 3x2\frac{3}{x^2} ，具體操作如：

 lim⁡x→∞xsin⁡(3x2)= lim⁡x→∞x⋅sin⁡(3x2)3x2⋅3x2= lim⁡x→∞sin⁡(3x2)3x2⋅3x= 1⋅0=0\begin{align*} &\,\lim_{x\to\infty} x\sin\big(\frac{3}{x^2}\big)\\[4mm] =&\,\lim_{x\to\infty} x\cdot\frac{\sin\big(\frac{3}{x^2}\big)}{\frac{3}{x^2}}\cdot\frac{3}{x^2}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to\infty} \frac{\sin\big(\frac{3}{x^2}\big)}{\frac{3}{x^2}}\cdot\frac{3}{x}\\[4mm] =&\,1\cdot0=0 \end{align*}

延伸題 2

lim⁡x→∞x2+2x+1x+1⋅sin⁡(2x)\lim_{x\to\infty} \frac{x^2+2x+1}{x+1}\cdot \sin\big(\frac{2}{x}\big)

解

與上一題類似的考慮，

給 sin⁡(2x)\sin\big(\frac{2}{x}\big) 的對面配個 2x\frac{2}{x} ：

 lim⁡x→∞x2+2x+1x+1⋅sin⁡(2x)= lim⁡x→∞x2+2x+1x+1⋅sin⁡(2x)2x⋅2x= 2lim⁡x→∞x2+2x+1x2+x⋅sin⁡(2x)2x= 2⋅1⋅1=2\begin{align*} &\,\lim_{x\to\infty} \frac{x^2+2x+1}{x+1}\cdot \sin\big(\frac{2}{x}\big)\\[4mm] =&\,\lim_{x\to\infty} \frac{x^2+2x+1}{x+1}\cdot\frac{\sin\big(\frac{2}{x}\big)}{\frac{2}{x}}\cdot\frac{2}{x}\\[4mm] =&\,2\lim_{x\to\infty} \frac{x^2+2x+1}{x^2+x}\cdot\frac{\sin\big(\frac{2}{x}\big)}{\frac{2}{x}}\\[4mm] =&\,2\cdot1\cdot1=2 \end{align*}

延伸題 3

lim⁡x→0sin⁡−1xx\lim_{x\to0}\frac{\sin^{-1}x}{x}

解

設 y=sin⁡−1xy=\sin^{-1} x ，則 x=sin⁡yx=\sin y 。
當 x→0x\to0 ，y→0y\to0 。

 lim⁡x→0sin⁡−1xx= lim⁡y→0ysin⁡y= 11=1\begin{align*} &\,\lim_{x\to0} \frac{\sin^{-1}x}{x}\\[4mm] =&\,\lim_{y\to0}\frac{y}{\sin y}\\[4mm] =&\,\frac{1}{1}=1 \end{align*}

延伸題 4

lim⁡x→0cos⁡x−1sin⁡−1xtan⁡x\lim_{x\to0} \frac{\cos x-1}{\sin^{-1} x\tan x}

解

除了基本的 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=1 ，
在我們做題經驗裡也已經知道

lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} \end{align*}

以及

lim⁡x→0sin⁡−1xx=1\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{\sin^{-1}x}{x}=1 \end{align*}

基於這些已知極限，就不難想到要這樣拆解：

 lim⁡x→0cos⁡x−1sin⁡−1xtan⁡x= lim⁡x→0cos⁡x−1sin⁡−1x⋅sin⁡xcos⁡x= lim⁡x→0  −1−cos⁡xx2⋅xsin⁡−1x⋅xsin⁡x⋅cos⁡x= −12⋅1⋅11⋅1=−12\begin{align*} &\,\lim_{x\to0} \frac{\cos x-1}{\sin^{-1} x \colorbox{Goldenrod}{$\tan x$} }\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{\cos x-1}{\sin^{-1} x \cdot \colorbox{Goldenrod}{$\frac{\sin x}{\cos x}$} }\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0}\; -\frac{1-\cos x}{x^2} \cdot\frac{x}{\sin^{-1}x}\\[4mm] &\qquad\cdot\frac{x}{\colorbox{Goldenrod}{$\sin x$}} \cdot\colorbox{Goldenrod}{$\cos x$}\\[4mm] =&\,-\frac{1}{2}\cdot1 \cdot\frac{1}{1}\cdot1=-\frac{1}{2} \end{align*}

延伸題 5

lim⁡x→0sin⁡(sin⁡x)x\lim_{x\to0} \frac{\sin\big(\sin x\big)}{x}

解

 lim⁡x→0sin⁡(sin⁡x)x= lim⁡x→0sin⁡(sin⁡x)sin⁡x⋅sin⁡xx= 1⋅1=1\begin{align*} &\,\lim_{x\to0} \frac{\sin\big(\sin x\big)}{x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{\sin\big(\sin x\big)}{\sin x} \cdot\frac{\sin x}{x}\\[4mm] =&\,1\cdot1=1 \end{align*}

延伸題 6

lim⁡θ→0θ−θcos⁡θsin⁡θtan⁡θ\lim_{\theta\to0} \frac{\theta-\theta\cos\theta} {\sin\theta\tan\theta}

解

仔細觀察式子後，決定分子分母同除以 θ\theta ，
這樣能消掉分子的 θ\theta ，
還能在分母搞出個 sin⁡θθ\frac{\sin \theta}{\theta}

 lim⁡θ→0θ−θcos⁡θsin⁡θtan⁡θ= lim⁡θ→01−cos⁡θsin⁡θθ⋅1tan⁡θ= lim⁡θ→01−cos⁡θθ2⋅1sin⁡θθ⋅θtan⁡θ⋅θ= 12⋅11⋅11⋅0=0\begin{align*} &\,\lim_{\theta\to0} \frac{\theta-\theta\cos\theta} {\sin\theta\tan\theta}\\[4mm] =&\,\lim_{\theta\to0}\frac{1-\cos\theta} {\frac{\sin\theta}{\theta}} \cdot\frac{1}{\tan\theta}\\[4mm] =&\,\lim_{\theta\to0} \frac{1-\cos\theta}{\theta^2} \cdot\frac{1}{\frac{\sin\theta}{\theta}}\\[4mm] &\qquad \cdot\frac{\theta}{\tan\theta}\cdot\theta\\[4mm] =&\,\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1} \cdot\frac{1}{1}\cdot0=0 \end{align*}

延伸題 7

lim⁡θ→01−cos⁡(1−cos⁡θ2)θ4\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos\big(\frac{1-\cos \theta}{2}\big)}{\theta^4}

解

這題設計得比較複雜，我們慢慢拆解，不必強求要一步到位

 lim⁡θ→01−cos⁡(1−cos⁡θ2)θ4= lim⁡θ→01−cos⁡(1−cos⁡θ2)(1−cos⁡θ2)2⋅(1−cos⁡θ2)2⋅1θ4= lim⁡θ→01−cos⁡(1−cos⁡θ2)(1−cos⁡θ2)2⋅(1−cos⁡θθ2)2⋅14= 12⋅(12)2⋅14=132\begin{align*} &\,\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos\big(\colorbox{Goldenrod}{$\frac{1-\cos \theta}{2}$} \big)} {\colorbox{aqua}{$\theta^4$}}\\[4mm] =&\,\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos\big(\colorbox{Goldenrod}{$\frac{1-\cos \theta}{2}$}\big)} {\fbox{$\big(\colorbox{Goldenrod}{$\frac{1-\cos \theta}{2}$}\big)^2$}} \\[4mm] &\quad\cdot\fbox{$\Big(\frac{1-\cos \theta}{2}\Big)^2$} \cdot\frac{1}{\colorbox{aqua}{$\theta^4$}}\\[4mm] =&\,\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos\big(\colorbox{Goldenrod}{$\frac{1-\cos \theta}{2}$}\big)} {\big(\colorbox{Goldenrod}{$\frac{1-\cos \theta}{2}$}\big)^2} \\[4mm] &\quad\cdot\bigg(\frac{1-\cos \theta} {\colorbox{aqua}{$\theta^2$}}\bigg)^2\cdot\frac{1}{4}\\[4mm] =&\,\frac{1}{2}\cdot\big(\frac{1}{2}\big)^2 \cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{32} \end{align*}

為了幫助你看懂，在此複雜的過程中進行了標註。
黃色底色\colorbox{Goldenrod}{黃色底色} 標註了對齊，根據 lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} 來進行 cos⁡\cos 內部的對齊

藍色底色\colorbox{aqua}{藍色底色} 標註的一直是同一個 θ4\theta^4 ，
讓你看懂它從第二行到第三行是乘進括號內了

框的部分是對齊完之後的平衡

註：所謂的對齊與平衡，在《白話微積分》內文有提到。

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