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自然指數的定義

\begin{align*} e:=&\,\lim_{n\to\infty}\big(1+\frac{1}{n}\big)^{n}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0}\big(1+x\big)^{\frac{1}{x}} \end{align*}

複習與回顧

續上一篇討論重要極限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ 的幾個延伸題，
這回繼續討論由自然指數定義衍生出來的重要極限，及其相關的極限題。

在《白話微積分》中，列出了幾個與 $e$ 相關的重要極限：

也別忘了上篇文章所見過的幾個常用已知極限：

\begin{align*} (1) \quad&\; \lim_{x\to0}\frac{5^x-3^x}{x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0}\frac{\big(5^x-1\big)-\big(3^x-1\big)}{x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{5^x-1}{x}-\lim_{x\to0}\frac{3^x-1}{x}\\[4mm] =&\,\ln5-\ln3=\ln\frac{5}{3}\\[4mm] (2) \quad&\; \lim_{x\to0}\big(1+2x\big)^{\frac{1}{\sin x}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0}\bigg[ \big(1+2x\big)^{\frac{1}{2x}} \bigg]^{\frac{x}{\sin x}\cdot2} =e^2\\[4mm] (3) \quad&\; \lim_{x\to0} \big(1+x^2\big)^{\cot^2 x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0}\bigg[ \big(1+x^2\big)^{\frac{1}{x^2}} \bigg]^{x^2\cdot\cot^2 x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0}\bigg[ \big(1+x^2\big)^{\frac{1}{x^2}} \bigg]^{\frac{x^2}{\sin^2 x}\cdot\cos^2 x}\\[4mm] =&\,e^{(1\cdot1)}=e\\[4mm] (4) \quad&\; \lim_{x\to0} \big(e^x+\sin x\big)^{\frac{2}{x}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0}e^2\cdot \Big(1+\frac{\sin x}{e^x} \Big)^{\frac{2}{x}}\\[4mm] =&\,e^2\cdot\lim_{x\to0}\bigg[ \big(1+\frac{\sin x}{e^x}\big)^{\frac{e^x}{\sin x}} \bigg]^{\frac{\sin x}{x} \cdot2\cdot\frac{1}{e^x}}\\[4mm] =&\,e^2\cdot e^2=e^4\\[4mm] (5) \quad&\; \lim_{x\to\infty} \Big(\frac{x+a}{x-a}\Big)^{x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to\infty} \Big(\frac{x-a+2a}{x-a}\Big)^{x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to\infty} \Big(1+\frac{2a}{x-a}\Big)^{x-a} \cdot\Big(1+\frac{2a}{x-a}\Big)^{a}\\[4mm] =&\,e^{2a}\cdot1=e^{2a}\;\; \Rightarrow e^{2a}=e^3 \Rightarrow a=\frac{3}{2} \end{align*}

(註：原稿第5題的拆項有小筆誤，這裡一併為您修正了運算邏輯)

\lim_{x\to0} \big(1+3x\big)^{\frac{2}{\sin x}}

解

\begin{align*} &\,\lim_{x\to0} \big(1+3x\big)^{\frac{2}{\sin x}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \bigg[\big(1+3x\big)^{\frac{1}{3x}} \bigg]^{\frac{2}{\sin x}\times3x} &&\colorbox{Lavender}{\text{先對齊 } 3x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \bigg[\big(1+3x\big)^{\frac{1}{3x}} \bigg]^{\frac{x}{\sin x}\times2\times3} &&\colorbox{Lavender}{\text{再湊 }\frac{\sin x}{x}}\\[4mm] =&\,e^{1\cdot2\cdot3}=e^6 \end{align*}

\lim_{x\to0} \big(1-\sin x\big)^{\frac{x}{\ln(1+3x^2)}}

解

看見底是 $(1+\colorbox{SkyBlue}{\text{\footnotesize 無窮小量}})$ 這種形式，
就想到往 $\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 去湊：

\begin{align*} &\,\lim_{x\to0} \big(1-\sin x\big)^{\frac{x}{\ln(1+3x^2)}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \bigg(\big(1-\sin x\big)^{\frac{1}{-\sin x}} \bigg)^{-\sin x\,\cdot\,\frac{x}{\ln(1+3x^2)}} \\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \bigg(\big(1-\sin x\big)^{\frac{1}{-\sin x} }\bigg)^{-\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{3x^2}{\ln(1+3x^2)} \cdot\frac{1}{3}}\\[4mm] =&\,\big(e\big)^{-1\cdot1\cdot\frac{1}{3}} =e^{-\frac{1}{3}} \end{align*}

(註：此處原稿漏了負號及分母次方小筆誤，已順手修正)

\lim_{x\to0} \frac{x\ln(1+x)}{1-\cos x}

解

透過觀察題目，不難聯想到這兩已知極限：

\begin{align*} &\,\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} \\[4mm] &\,\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \end{align*}

所以

\begin{align*} &\,\lim_{x\to0} \frac{x\ln(1+x)}{1-\cos x}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{x}{1-\cos x} \cdot\ln(1+x) &&\colorbox{Lavender}{\text{先拉開}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{x^2}{1-\cos x} \cdot\frac{\ln(1+x)}{x} &&\colorbox{Lavender}{\text{再湊}}\\[4mm] =&\,2\cdot1=2 \end{align*}

\lim_{x\to0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}

解

乍看分子的 $\ln(\cos x)$ 並不滿足我們比較熟悉的 $\ln(1+\colorbox{SkyBlue}{\text{\footnotesize 無窮小量}})$ 這種形式，
但我們可以自己湊：

\begin{align*} \ln(\cos x) =\ln\big(1+(\cos x-1)\big) \end{align*}

這樣就有方向了，於是

\begin{align*} &\,\lim_{x\to0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{\ln\big(1+(\cos x-1)\big)}{\cos x-1} \cdot\frac{\cos x-1}{x^2}\\[4mm] =&\,1\cdot(-\frac{1}{2}) =-\frac{1}{2} \end{align*}

\lim_{x\to0} \big(\cos x\big)^{\frac{1}{\ln(1+x^2)}}

解

\begin{align*} &\,\lim_{x\to0} \big(\cos x\big)^{\frac{1}{\ln(1+x^2)}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0}\big(1+ (\cos x-1)\big)^{\frac{1}{\ln(1+x^2)}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \bigg[\big(1+ (\cos x-1)\big)^{\frac{1}{\cos x-1} }\bigg]^{\frac{\cos x-1}{\ln(1+x^2)}}\\[4mm] =&\,\lim_{x\to0} \bigg